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高等數(shù)學(xué)微分知識點匯總最新
漫長的學(xué)習(xí)生涯中，大家都背過各種知識點吧？知識點就是掌握某個問題/知識的學(xué)習(xí)要點。哪些知識點能夠真正幫助到我們呢？下面是小編收集整理的高等數(shù)學(xué)微分知識點匯總最新，希望對大家有所幫助。
一、歷年微積分考試命題特點
微積分復(fù)習(xí)的重點根據(jù)考試的趨勢來看，難度特別是怪題不多，就是綜合性串題。以往考試選擇填空題比較少，而今年變大了。微積分一共74分，填空、選擇占32分。第一是要把基本概念、基本內(nèi)容有一個系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，選擇填空題很重要。幾大運算，一個是求極限運算，還有就是求導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)運算占了很大的比重，這是一個很重要的內(nèi)容。當(dāng)然，還有積分，基礎(chǔ)還是要把基本積分類型基礎(chǔ)搞清楚，定積分就是對稱性應(yīng)用。二重積分就是要分成兩個累次積分。三大運算這是我們的基礎(chǔ)，應(yīng)該會算，算的概念比如說極限概念、導(dǎo)數(shù)概念、積分概念。
二、微積分中三大主要函數(shù)
微積分處理的對象有三大主要函數(shù)，第一是初等函數(shù)，這是最基礎(chǔ)的東西。在初等函數(shù)的基礎(chǔ)上對分段函數(shù)，在微積分的概念里都有分段函數(shù)，處理的一般方法應(yīng)該掌握。還有就是研究生考試最常見的是變限積分函數(shù)。這是我們經(jīng)常遇到的三大基本函數(shù)。
三、微積分復(fù)習(xí)方法
微積分復(fù)習(xí)內(nèi)容很多，題型也多，靈活度也大。怎么辦呢?這其中有一個調(diào)理辦法，首先要看看輔導(dǎo)書、聽輔導(dǎo)課，老師給你提供幫助，會給你一個比較系統(tǒng)的總結(jié)。老師總結(jié)的東西，比如說我在考研教育網(wǎng)輔導(dǎo)課程中總結(jié)了很多的點，每一個點要掌握重點，要舉一反三搞清楚。從具體大的題目來講，基本運算是考試的重要內(nèi)容。應(yīng)用方面，無非是在工科強調(diào)物理應(yīng)用，比如說旋轉(zhuǎn)體的面積、體積等等。在經(jīng)濟里面的經(jīng)濟運用，彈性概念、邊際是經(jīng)濟學(xué)的重要概念，包括經(jīng)濟的函數(shù)。還有一個更應(yīng)該掌握的，比如集合、旋轉(zhuǎn)體積應(yīng)用面等等，大的題目都是在經(jīng)濟基礎(chǔ)上延伸出的問題，只有數(shù)學(xué)化了之后，才能處理數(shù)學(xué)模型。
還有中值定理，還有微分學(xué)的應(yīng)用，比如說單調(diào)性、凹凸性的討論、不等式證明等等。應(yīng)用部分包括證明推斷的內(nèi)容。
簡單概括一下就是三個基本函數(shù)要搞清楚，三大運算的基礎(chǔ)要搞熟，概念點要看看參考書地都有系統(tǒng)的總結(jié)，哪些點在此就不一一列了。計算題、應(yīng)用題、函數(shù)微分學(xué)延伸出的證明題都要搞熟。
高等數(shù)學(xué)考點匯總
一、一元函數(shù)積分學(xué)
(一)不定積分
1.知識范圍
(1)不定積分
原函數(shù)與不定積分的定義原函數(shù)存在定理不定積分的性質(zhì)
(2)基本積分公式
(3)換元積分法
第一換元法(湊微分法)第二換元法
(4)分部積分法
(5)一些簡單有理函數(shù)的積分
2.要求
(1)理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)，了解原函數(shù)存在定理。
(2)熟練掌握不定積分的基本公式。
(3)熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法(限于三角代換與簡單的根式代換)。
(4)熟練掌握不定積分的分部積分法。
(5)會求簡單有理函數(shù)的不定積分。
(二)定積分
1.知識范圍
(1)定積分的概念
定積分的定義及其幾何意義可積條件
(2)定積分的性質(zhì)
(3)定積分的計算
變上限積分牛頓—萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式換元積分法分部積分法
(4)無窮區(qū)間的廣義積分
(5)定積分的應(yīng)用
平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體體積物體沿直線運動時變力所作的功
2.要求
(1)理解定積分的概念及其幾何意義，了解函數(shù)可積的條件。
(2)掌握定積分的基本性質(zhì)。
(3)理解變上限積分是變上限的函數(shù)，掌握對變上限定積分求導(dǎo)數(shù)的方法。
(4)熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式。
(5)掌握定積分的換元積分法與分部積分法。
(6)理解無窮區(qū)間的廣義積分的概念，掌握其計算方法。
(7)掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體體積。
會用定積分求沿直線運動時變力所作的功。
二、向量代數(shù)與空間解析幾何
(一)向量代數(shù)
1.知識范圍
(1)向量的概念
向量的定義向量的模單位向量向量在坐標(biāo)軸上的投影向量的坐標(biāo)表示法向量的方向余弦
(2)向量的線性運算
向量的加法向量的減法向量的數(shù)乘
(3)向量的數(shù)量積
二向量的夾角二向量垂直的充分必要條件
(4)二向量的向量積二向量平行的充分必要條件
2.要求
(1)理解向量的概念，掌握向量的坐標(biāo)表示法，會求單位向量、方向余弦、向量在坐標(biāo)軸上的投影。
(2)熟練掌握向量的線性運算、向量的數(shù)量積與向量積的計算方法。
(3)熟練掌握二向量平行、垂直的充分必要條件。
(二)平面與直線
1.知識范圍
(1)常見的平面方程
點法式方程一般式方程
(2)兩平面的位置關(guān)系(平行、垂直和斜交)
(3)點到平面的距離
(4)空間直線方程
標(biāo)準(zhǔn)式方程(又稱對稱式方程或點向式方程)一般式方程參數(shù)式方程
(5)兩直線的位置關(guān)系(平行、垂直)
(6)直線與平面的位置關(guān)系(平行、垂直和直線在平面上)
2.要求
(1)會求平面的點法式方程、一般式方程。會判定兩平面的垂直、平行。會求兩平面間的夾角。
(2)會求點到平面的距離。
(3)了解直線的一般式方程，會求直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程、參數(shù)式方程。會判定兩直線平行、垂直。
(4)會判定直線與平面間的關(guān)系(垂直、平行、直線在平面上)。
(三)簡單的二次曲面
1.知識范圍
球面母線平行于坐標(biāo)軸的柱面旋轉(zhuǎn)拋物面圓錐面橢球面
2.要求
了解球面、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面、旋轉(zhuǎn)拋物面、圓錐面和橢球面的方程及其圖形。
三、多元函數(shù)微積分學(xué)
(一)多元函數(shù)微分學(xué)
1.知識范圍
(1)多元函數(shù)
多元函數(shù)的定義二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)極限與連續(xù)的概念
(2)偏導(dǎo)數(shù)與全微分
偏導(dǎo)數(shù)全微分二階偏導(dǎo)數(shù)
(3)復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)
(4)隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)
(5)二元函數(shù)的無條件極值與條件極值
2.要求
(1)了解多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義。會求二次函數(shù)的表達式及定義域。了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)概念(對計算不作要求)。
(2)理解偏導(dǎo)數(shù)概念，了解偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，了解全微分概念，了解全微分存在的必要條件與充分條件。
(3)掌握二元函數(shù)的一、二階偏導(dǎo)數(shù)計算方法。
(4)掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。
(5)會求二元函數(shù)的全微分。
(6)掌握由方程所確定的隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的計算方法。
(7)會求二元函數(shù)的無條件極值。會用拉格朗日乘數(shù)法求二元函數(shù)的條件極值。
(二)二重積分
1.知識范圍
(1)二重積分的概念
二重積分的定義二重積分的幾何意義
(2)二重積分的性質(zhì)
(3)二重積分的計算
(4)二重積分的應(yīng)用
2.要求
(1)理解二重積分的概念及其性質(zhì)。
(2)掌握二重積分在直角坐標(biāo)系及極坐標(biāo)系下的計算方法。
(3)會用二重積分解決簡單的應(yīng)用問題(限于空間封閉曲面所圍成的有界區(qū)域的體積、平面薄板質(zhì)量)。
四、無窮級數(shù)
(一)數(shù)項級數(shù)
1.知識范圍
(1)數(shù)項級數(shù)
數(shù)項級數(shù)的概念級數(shù)的收斂與發(fā)散級數(shù)的基本性質(zhì)級數(shù)收斂的必要條件
(2)正項級數(shù)收斂性的判別法
比較判別法比值判別法
(3)任意項級數(shù)交錯級數(shù)絕對收斂條件收斂萊布尼茨判別法
2.要求
(1)理解級數(shù)收斂、發(fā)散的概念。掌握級數(shù)收斂的必要條件，了解級數(shù)的基本性質(zhì)。
(2)掌握正項級數(shù)的比值判別法。會用正項級數(shù)的比較判別法。
(3)掌握幾何級數(shù)、調(diào)和級數(shù)與級數(shù)的收斂性。
(4)了解級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，會使用萊布尼茨判別法。
(二)冪級數(shù)
1.知識范圍
(1)冪級數(shù)的概念
收斂半徑收斂區(qū)間
(2)冪級數(shù)的基本性質(zhì)
(3)將簡單的初等函數(shù)展開為冪級數(shù)
2.要求
(1)了解冪級數(shù)的概念。
(2)了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和、差、逐項求導(dǎo)與逐項積分)。
(3)掌握求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間(不要求討論端點)的方法。
(4)會運用麥克勞林(Maclaurin)公式，將一些簡單的初等函數(shù)展開為冪級數(shù)。
五、常微分方程
(一)一階微分方程
1.知識范圍
(1)微分方程的概念
微分方程的定義階解通解初始條件特解
(2)可分離變量的方程
(3)一階線性方程
2.要求
(1)理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。
(2)掌握可分離變量方程的解法。
(3)掌握一階線性方程的解法。
(二)可降價方程
1.知識范圍
(1)型方程
(2)型方程
2.要求
(1)會用降階法解型方程。
(2)會用降階法解型方程。
(三)二階線性微分方程
1.知識范圍
(1)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)
(2)二階常系數(shù)齊次線性微分方程
(3)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程
2.要求
(1)了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。
(2)掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。
(3)掌握二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法。
考試形式及試卷結(jié)構(gòu)
試卷總分：150分
考試時間：150分鐘
考試方式：閉卷，筆試
試卷內(nèi)容比例：
函數(shù)、極限和連續(xù)約15%
一元函數(shù)微分學(xué)約25%
一元函數(shù)積分學(xué)約20%
多元函數(shù)微積分(含向量代數(shù)與空間解析幾何)約20%
無窮級數(shù)約10%
常微分方程約10%
試卷題型比例：
選擇題約15%
填空題約25%
解答題約60%
試題難易比例：
容易題約30%
中等難度題約50%
較難題約20%
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