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三角形內(nèi)角和的案例分析與反思
數(shù)學(xué)教學(xué)主要是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)。學(xué)生初步的邏輯思維能力的發(fā)展需要有一個(gè)長(zhǎng)期的培養(yǎng)和訓(xùn)練過程。數(shù)學(xué)教學(xué)的思維訓(xùn)練，是根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容在教學(xué)過程中實(shí)現(xiàn)的。課堂教學(xué)是對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練的主陣地，所以，要把思維訓(xùn)練貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)方面。從下面的幾個(gè)案例中可以看出如何在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的提升。
[案例1]
幾年前，曾經(jīng)聽過一堂《三角形的內(nèi)角和》的公開課，那時(shí)是五年級(jí)的教學(xué)內(nèi)容。事隔多年，具體的細(xì)節(jié)已淡忘，但是依稀記得大致的流程是：教師讓學(xué)生量出形狀各異的三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，然后算出三個(gè)內(nèi)角的和，最后得出結(jié)論。通過測(cè)量大部分的學(xué)生得出的結(jié)果并不是180度。老師解釋說，這是因?yàn)榱拷钱a(chǎn)生了誤差，如果沒有誤差，應(yīng)該是180度。學(xué)生似懂非懂，心存疑慮，為什么偏偏是180度，而不是179度或181度呢?老師說180度就：180度吧。
反思：顯然該流程中的學(xué)生是在教師的指令下量角，進(jìn)行計(jì)算，不知道為什么是這樣做。得出的結(jié)論也是老師強(qiáng)加給學(xué)生的，是一種典型的“填鴨式”教學(xué)。學(xué)生只是知道了這個(gè)知識(shí)，沒有學(xué)到數(shù)學(xué)的方法，更沒有思維的提升。相反，在某種程度上，給學(xué)生一種誤解，數(shù)學(xué)的結(jié)論似乎可以模模糊糊，大致這樣就可以了。
[案例2]
今年，我也教學(xué)《三角形的內(nèi)角和》，是給四年級(jí)的孩子上的。過程如下：
新課開始，復(fù)習(xí)三角板的三個(gè)角的度數(shù)，計(jì)算三角板的三個(gè)角的和。
師：同學(xué)們，在我們上學(xué)期畫角的時(shí)候知道我們?nèi)前宓娜齻�(gè)角有幾度嗎？
生1：一種是：一個(gè)角90度、一個(gè)角30度、一個(gè)角60度。
生2：還有一種是一個(gè)角90度，兩個(gè)角是45度。
師：對(duì)，我手中拿的兩塊三角板就是同學(xué)們剛才所說的三角板，請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算這兩三角板的內(nèi)角和分別是幾度？
生：是180度
師：那么從這里我們可以得出什么結(jié)論呀？
生1：是不是直角三形的內(nèi)角和是180度。
生2：是不是所有三角形的內(nèi)角和是180度。
�。▽W(xué)生1講時(shí)，大多學(xué)生表示可以接受，當(dāng)學(xué)生2講時(shí)，有很多學(xué)生露出疑惑的眼神。當(dāng)時(shí)我想是不是直接講第二個(gè)問題呢？可又怕學(xué)生一時(shí)接受不了，于是我再次把問題拋給學(xué)生。）
師：你們有什么辦法證明所有的直角三角形的內(nèi)角和是180度嗎？可獨(dú)立思考，也可與周圍的同學(xué)進(jìn)行討論。
生1：：一個(gè)正方形能分成兩個(gè)直角三角形，正方形的內(nèi)角和是360度，所以一個(gè)三角形的內(nèi)角和是180度。
師：你說得對(duì)，可這是一種特殊的直角三角形。
生2：任何一個(gè)長(zhǎng)方形也都能分成兩個(gè)相同的直角三角形，而長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是360度，那么這兩個(gè)相同的直角三角形的內(nèi)角和也一定是180度，所以直角三角形的內(nèi)角和是180度。我心里不由暗暗佩服，這孩子的推理無懈可擊。還有很多孩子的手高高地舉在那里。
生3：只要證明兩個(gè)銳角的和是90度就行了。
我向?qū)W生豎起大拇指說：這個(gè)想法好，可是怎么證明兩個(gè)銳角的和是90度呢。于是量一量，拼一拼的方法應(yīng)運(yùn)而生。接下去的教學(xué)就順理成章了。
師：既然直角三角形的內(nèi)角和是180度，由此我們猜測(cè)，是不是……
班里學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性被充分調(diào)動(dòng)起來，紛紛搶著說：是不是銳角三角形的內(nèi)角和也是180度呢?；是不是鈍角三角形的內(nèi)角和也是180度呢？
孩子們又用拼一拼、量一量的方法，得出了正確的結(jié)論。
反思：學(xué)生從計(jì)算三角板的內(nèi)角和是180度，猜測(cè)所有的直角三角形的內(nèi)角和是180度，驗(yàn)證的方法又是多維的，或從正方形、長(zhǎng)方形的內(nèi)角和推出直角三角形的內(nèi)角和，或證明兩個(gè)銳角的和是90度。受上面方法的啟發(fā)，又用量一量、拼一拼的方法驗(yàn)證鈍角三角形、銳角三角形的內(nèi)角和是180度，把三個(gè)角拼成一個(gè)“平角”，較好地彌補(bǔ)了量一量所造成的誤差，得出的結(jié)論是比較可信的。
學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常常需要把面對(duì)的問題通過轉(zhuǎn)化、分析、綜合、假設(shè)等變化成已知的數(shù)學(xué)問題。 在這個(gè)思維過程中，要依據(jù)具體情況恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分析與綜合、具體與抽象、求同與求異、一般與特殊等思維方法。通過猜測(cè)、驗(yàn)證引導(dǎo)學(xué)生“層層剝筍”地探究新知，滲透了“由特殊到一般”的方法，孩子們自主得出了結(jié)論。驗(yàn)證方法的多樣性不僅提高了結(jié)論的可靠性，也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。
[案例3]
最近，我又聽了其他老師上的這一堂課，他的教學(xué)過程給我留下了深刻印象。
在認(rèn)識(shí)了內(nèi)角，復(fù)習(xí)了三角形按角的分類，回憶了一個(gè)三角形至少有兩個(gè)銳角后。
師：想象一下，有沒有兩個(gè)直角、兩個(gè)鈍角、或一個(gè)直角一個(gè)鈍角的三角形，也可以畫一畫，擺一擺。
同學(xué)們聽后紛紛動(dòng)手?jǐn)[、畫。
一分鐘后，教師出示學(xué)生畫或擺的各種圖形，發(fā)現(xiàn)這些根本不可能組成一個(gè)三角形。
師：那么這些圖形怎樣才能變成三角形呢？
同學(xué)們通過畫、擺，得出要形成一個(gè)三角形，必須把角的邊往里靠，也就是兩個(gè)角的和要小于180度。
師：這就是我們學(xué)習(xí)的方法，先觀察思考，再得出結(jié)論。那么你們說說三角形的內(nèi)角、和有幾度呢？
生1：有190度吧。
生2：有200度吧
生3：反正不會(huì)小于180度。
師：剛才同學(xué)們說了這么多，到底有幾度呢？下面我們采用什么方法來知道三角形的三個(gè)內(nèi)角有度呢？
生：我們不是學(xué)過量角了嗎，那我們把這三個(gè)角量一量，再加起來就知道三角形的內(nèi)角和有幾度了呀！
師：真聰明，那我們就按他的方法量一量吧。
（驗(yàn)證開始了，學(xué)生們量了幾個(gè)三角形，當(dāng)然得出的結(jié)論只能是在180度左右。）
師：用量的方法有誤差，只能說明在180度左右，，如果我們計(jì)算的是航天飛機(jī)發(fā)射的角度能僅僅算出大約的角度嗎?我們還有什么更準(zhǔn)確的方法嗎？
�。ń又鴮W(xué)生想到的是用“拼”的辦法，把三個(gè)角撕下來拼成一個(gè)“平角”。）
師：既然是平角，你能確定下面肯定是一條直的線嗎?
�。▽W(xué)生面面相覷，不敢確定。）
師：這說明用拼的方法也有誤差。那么同學(xué)們還有什么辦法呀！
�。ㄟ@時(shí)學(xué)生的思維被教師調(diào)動(dòng)起來了，有學(xué)生提出把一個(gè)長(zhǎng)方形對(duì)折，能證明直角三角形的內(nèi)角和是180度。）
師：對(duì)，這種方法很好，下面我們能否利用直角三角形的內(nèi)角和來推出銳角三角形與鈍角三角形的內(nèi)角和呢？
�。ㄕn堂安靜下來，孩子們?cè)谒伎迹?/p>
教師作進(jìn)一步的提示，能否把銳角三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形。兩個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是360度，減去兩個(gè)直角，余下的180度全是銳角三角形的內(nèi)角和。同理，鈍角三角形的內(nèi)角和，學(xué)生很快就自主得到了。
反思：三角形的三個(gè)角能拼成一個(gè)平角，理論上說是對(duì)的。從成人的角度來說，我們能肯定那一定是一個(gè)平角，因?yàn)槲覀冎廊切蔚膬?nèi)角和是180度，但是在孩子的眼里，看到的只是“近似”的直線。所以，當(dāng)老師說“拼”的方法也有誤差，聽課的老師在下面暗自否定這種想法的時(shí)候，孩子們卻是頻頻點(diǎn)頭。接下的推理，是嚴(yán)密的，無懈可擊的，結(jié)論是孩子們信服的。孩子有自己的眼光看數(shù)學(xué)，教師應(yīng)蹲下身子，和孩子站在同一視平線上，真正走入了孩子的心田。
在這節(jié)課上，學(xué)生知其然也知其所以然，通過思辨引導(dǎo)學(xué)生多想一步，想深一步，體會(huì)到數(shù)學(xué)本身的邏輯性和嚴(yán)密性。學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)，領(lǐng)會(huì)了數(shù)學(xué)方法，感悟了數(shù)學(xué)思想，為今后的可持續(xù)發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
特級(jí)教師錢陽輝說過：“如果知識(shí)背后沒有方法，知識(shí)只能是一種沉重的負(fù)擔(dān)；如果方法背后沒有思想，方法只不過是一種笨拙的工具。”數(shù)學(xué)教學(xué)要使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維，這是數(shù)學(xué)教學(xué)要追求的境界，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)要求。
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