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直線的傾斜角與斜率教案（精選7篇）
作為一名默默奉獻(xiàn)的教育工作者，總不可避免地需要編寫教案，借助教案可以提高教學(xué)質(zhì)量，收到預(yù)期的教學(xué)效果。寫教案需要注意哪些格式呢？下面是小編整理的直線的傾斜角與斜率教案，希望對大家有所幫助。
直線的傾斜角與斜率教案 1
一、教學(xué)目標(biāo)
1、探索確定直線位置的幾何要素，感受傾斜角這個反映傾斜程度的幾何量的形成過程。
2、通過教學(xué)，使學(xué)生從生活中的坡度，自然遷移到數(shù)學(xué)中直線的斜率，感受數(shù)學(xué)概念來源于生活實際，數(shù)學(xué)概念的形成是自然的，從而滲透辯證唯物主義思想。
3、充分利用傾斜角和斜率是從數(shù)與形兩方面，刻畫直線相對于x軸傾斜程度的兩個量這一事實，滲透數(shù)形結(jié)合思想。
4、經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，初步掌握過已知兩點的直線的斜率計算公式，滲透幾何問題代數(shù)化的解析幾何研究思想。
二、教學(xué)重點與難點
重點：
1、感悟并形成傾斜角與斜率兩個概念；
2、推導(dǎo)并初步掌握過兩點的直線斜率公式；
3、體會數(shù)形結(jié)合及分類討論思想在概念形成及公式推導(dǎo)中的作用。
難點：用代數(shù)方法推導(dǎo)斜率的過程。
三、教學(xué)方法
計算機(jī)輔助教學(xué)與發(fā)現(xiàn)法相結(jié)合。即在多媒體課件支持下，讓學(xué)生在教師引導(dǎo)下，積極探索，親身經(jīng)歷概念的發(fā)現(xiàn)與形成過程，體驗公式的推導(dǎo)過程，主動建構(gòu)自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
四、教學(xué)過程
（一）創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題
問題
1、（出示幻燈片）給出的兩點P、Q相同嗎。
從形的角度看，它們有位置之分，但無大小與形狀之分。
從數(shù)的角度看，如何區(qū)分兩個點。（用坐標(biāo)區(qū)分）
問題
2、過這兩點可作什么圖形。
唯一嗎。只經(jīng)過其中一點（如點P）可作多少條直線。若只想定出其中的一條直線，除了再用一點外，還有其他方法嗎。
可以增加一個什么樣的幾何量。（估計不少學(xué)生能意識到需要有一個角）
由此引導(dǎo)學(xué)生歸納，確定直線位置可有兩種方式
�。�1）已知直線上兩點
�。�2）已知直線上一點和直線的傾斜程度
問題
3、角的形成還需一條線，也就是說要有刻畫傾斜程度的角，就必須還有一條形成角的參照的直線。在平面直角坐標(biāo)系下，以哪條軸線為基準(zhǔn)形成刻畫傾斜程度的角。（學(xué)生可能回答x軸或y軸）
以x軸或y軸為基準(zhǔn)都可以，習(xí)慣上我們用x軸。
選擇哪個角來描述直線的傾斜程度，就能保證坐標(biāo)系下的任何一條直線都有唯一的角與它對應(yīng)呢。
�。ń處熞龑�(dǎo)學(xué)生選取不同的方向來描述角，并區(qū)分L1與L2）。
數(shù)學(xué)概念來刻畫事物時，講求統(tǒng)一美與簡潔美，如何用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確描述這個角呢。（揭示課題）
1、傾斜角的定義：在直角坐標(biāo)系下，以x軸為基準(zhǔn)，當(dāng)直線與軸相交時，軸正向與直線向上方向之間所成的角，叫做直線的傾斜角。
學(xué)生練習(xí)畫出過點P的各種傾斜角的直線。
學(xué)生容易忽略與軸平行的直線，補(bǔ)出圖（4），問傾斜角在哪兒。
如何規(guī)定。
規(guī)定：當(dāng)直線與軸平行或重合時，它的'傾斜角為0。
自然有傾斜角的范圍是[0，180）
這樣平面直角坐標(biāo)系中每條直線都有唯一一個確定的傾斜角與它對應(yīng)。傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等，傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等。
以上定義了一個從“形”的角度用傾斜角刻畫平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一條直線的傾斜程度。
（二）鞏固舊知，同化新知
生活中，我們都有過爬山、爬坡的體驗，對于斜坡的傾斜程度，可以用什么量來反映。（坡角與坡度）
初中對坡度是如何定義的。
當(dāng)坡角增大時，坡度如何變化。
當(dāng)坡角=90與0時，升高量、前進(jìn)量分別是什么。坡度又分別是什么。
坡角、坡度都能反映傾斜程度，遷移到數(shù)學(xué)中，坡角相當(dāng)于直線的傾斜角，而坡度則對應(yīng)于直線的斜率。
2、斜率：傾斜角不是90的直線，其傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率。即
問題
5、當(dāng)為鈍角時，直線的斜率如何求。
�。ㄞD(zhuǎn)化到其補(bǔ)角上）
問題
6、當(dāng)在[0，180）內(nèi)變化時，斜率k如何變化。
問題
7、傾斜角與斜率都能刻畫直線的傾斜程度，哪個量更優(yōu)越呢。
傾斜角能從形的角度刻畫傾斜程度，而斜率是比值，實質(zhì)是數(shù)值，它能從數(shù)的角度反映傾斜的程度，顯然用斜率更細(xì)致入微些。
�。ㄈ﹪L試推導(dǎo)，深化認(rèn)識
兩點確定一條直線，可見由兩點也就確定了直線的傾斜程度，即傾斜角與斜率�？磥�，直線上兩點與直線的斜率有著密不可分的聯(lián)系。
問題
8、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線上兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1 x2，能否用P1 、P2的坐標(biāo)來表示直線斜率k。
�。▽W(xué)生活動）：隨意在坐標(biāo)系下畫兩點P1 、P2及直線P1 P2，探究各種圖形并嘗試推導(dǎo)，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。教師可適當(dāng)引導(dǎo)其將斜坡截面圖遷移到坐標(biāo)系中，類似升高量，前進(jìn)量，用點的坐標(biāo)表示線段長，并請同學(xué)敘述各個圖的推導(dǎo)過程與結(jié)果。
解：設(shè)直線P1 P2傾斜角為
�。�90）當(dāng)直線P1 P2方向向上時，過點P1作軸的平行線，過點P2作軸的平行線，兩線交于點Q，則點Q為（x2，y1）
�。�1）當(dāng)為銳角時，在中，（2）當(dāng)為鈍角時，（設(shè)=），=在中，（可讓學(xué)生分組推導(dǎo)）
同理，當(dāng)直線P2P1方向向上時，無論為銳角或鈍角，也有，即
思考：
1、各種一般情形得出的結(jié)論一致嗎。與P1、P2這兩點坐標(biāo)順序有關(guān)系嗎。
2、當(dāng)直線垂直于x軸或y軸時，上述結(jié)論適用嗎。
3、斜率公式使用時應(yīng)注意什么問題。
鞏固練習(xí)：求經(jīng)過下列兩點直線的斜率，并判斷傾斜角是銳角還是鈍角。
�。�1）A（3,2）,B（-4,1）（）
�。�2）A（3,2）,B（4,1）（）
�。�3）A（3,2）,B（3,-1）（不存在）
�。�4）A（3,2）,B（-4,2）（）
（四）反思小結(jié)，概括提煉（同學(xué)們這節(jié)課有何收獲。）
1、明確了確定直線位置的幾何要素。
2、理解了刻畫傾斜程度的量（傾斜角與斜率），知道了求斜率的兩種方法（定義法、坐標(biāo)法）
3、經(jīng)歷了代數(shù)方法刻畫斜率的過程,感受了數(shù)形結(jié)合與分類討論的數(shù)學(xué)思想
(五)板書設(shè)計
直線的傾斜角與斜率
�。┳鳂I(yè)：1、2、3。
直線的傾斜角與斜率教案 2
教學(xué)目標(biāo)
（1）知識目標(biāo)
�、� 讓學(xué)生經(jīng)歷傾斜角這個反映傾斜程度的幾何量的形成過程，能自然理解傾斜角的概念。
�、� 通過對坡角、坡度概念回顧，經(jīng)過教學(xué)使學(xué)生能把此知識遷移到直線的斜率中，并理解斜率的定義。
�、� 經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，使學(xué)生初步掌握過已知兩點的直線的斜率坐標(biāo)公式。
�。�2）能力目標(biāo)
�、� 通過直線的傾斜角概念學(xué)習(xí)和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索、和抽象概括能力，運用數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力，數(shù)學(xué)交流與評價能力。
�、� 通過斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，滲透辯證唯物主義思想，滲透幾何問題代數(shù)化的解析幾何研究思想。
�。�3）情感目標(biāo)：
�、� 通過自主探究與合作交流的教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)置，激發(fā)學(xué)生
的學(xué)習(xí)熱情和求知欲，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。
�、� 通過數(shù)形結(jié)合的思想和方法的應(yīng)用，讓學(xué)生感受和體會數(shù) 學(xué)的魅力，使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué)的意識和科學(xué)精神。
18025719591 ①直線傾斜角與斜率概念；
�、谕茖�(dǎo)并掌握過兩點的直線斜率公式；
�、垠w會數(shù)形結(jié)合及分類討論思想的作用。
教學(xué)難點
斜率概念的學(xué)習(xí)和過兩點斜率公式的建立過程。
教學(xué)方法
教師啟發(fā)引導(dǎo)與學(xué)生自主探索相結(jié)合。
教學(xué)手段
多媒體輔助課堂教學(xué)。
教學(xué)過程
創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課
利用水上樂園的滑梯這情境，向?qū)W生設(shè)問
坐哪個滑梯更刺激，速度更快？為什么？（學(xué)生回答）
滑梯的陡峭與平緩反映滑梯的傾斜程度，這一節(jié)課我們要學(xué)習(xí)反映直線傾斜程度的兩個幾何量——傾斜角與斜率，從而揭示課題。
問題情境，形成概念
問題1、過平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點P、Q可作什么圖形？唯一嗎？只經(jīng)過其中一點（如點P）可作多少條直線？若只想確定其中的一條直線，除了再用一點外，還有其他方法嗎？還需要增加一個什么樣的.幾何量？
由此引導(dǎo)學(xué)生歸納，確定直線位置可有兩種方式
（1）已知直線上兩點
�。�2）已知直線上一點和直線的傾斜程度
問題2、過點P與x軸形成 角的直線有幾條？
�。▽W(xué)生可能答一條或兩條，投影演示結(jié)果）如何區(qū)分這兩條直線呢？(學(xué)生可能想到還需要確定一個角)。
為什么已知直線上一點和直線與x軸所成的角不能唯一確定一條直線？選擇哪個角來描述直線的傾斜程度，就能確定坐標(biāo)系下的一條直線呢？
�。ㄒ龑�(dǎo)學(xué)生選取哪個角描述直線的傾斜程度，可分別確定這兩條直線）
經(jīng)歷了這個角的形成過程，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確描述這個角（傾斜角的定義）。
師生互動，新課探究
1、傾斜角的定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線 ，把 軸（正方向）按逆時針方向繞著交點旋轉(zhuǎn)到和直線 重合所成的角，叫做直線 的傾斜角。
通過動畫演示，幫助學(xué)生理解傾斜角定義。
問題3、在平面直角坐標(biāo)系中過點P的直線，按傾斜角分，可分為幾類？(讓學(xué)生試著畫)
學(xué)生容易忽略與 軸平行的直線，補(bǔ)出圖（4），問傾斜角在哪兒？
如何規(guī)定？（當(dāng)直線 與 軸平行或重合時，它的傾斜角為0 ）數(shù)形結(jié)合，得出傾斜角的范圍是[0 ，180 ）
平面直角坐標(biāo)系中一條直線 傾斜角
（傾斜角是從“形”的角度刻畫平面直角坐標(biāo)系內(nèi)直線的傾斜程度）。
回顧舊知，遷移應(yīng)用
(1)對于生活中斜坡，我們是用什么量刻畫它的傾斜程度？
�。ㄆ陆桥c坡度）
(2)坡度定義是什么？
�。�3）坡度隨坡角 變化如何變化？當(dāng)坡角 =90 與0 時坡度又分別是什么？
斜坡 平面直角坐標(biāo)系中的直線
坡角 直線的傾斜角
坡度 直線的斜率。
左圖中傾斜角為銳角，圖中橫坐標(biāo)x從0到1增加一個單位，縱坐標(biāo)y從0增加到k(k>0),我們稱k為這條直線的斜率。 ，右圖中傾斜角為鈍角，在以后學(xué)習(xí)中可知，直線斜率也可用傾斜角的正切值表示。
2、斜率：傾斜角不是90 的直線，其傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率。即
問題4、當(dāng)直線的傾斜角 為鈍角時，如何求它的斜率？
傾斜角 為鈍角的斜率，可轉(zhuǎn)化到其補(bǔ)角 來求
如：傾斜角 ，則斜率
討論交流，加深理解
問題5、當(dāng)傾斜角變化時，斜率k如何變化？（動畫演示）
新知演練 及時反饋
例1、下列哪些說法是正確的（ D、F ）
A、任一條直線都有傾斜角，也都有斜率
B、直線的傾斜角越大，斜率也越大
C、平行于x軸的直線的傾斜角是0或π
D、直線斜率的范圍是R
E、兩直線的傾斜角相等，它們的斜率也相等
F、兩直線的斜率相等，它們的傾斜角也相等
嘗試推導(dǎo)，深化認(rèn)識
兩點 一條直線 直線傾斜角 直線斜率
問題6、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線上兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1 x2，怎樣用P1 、P2的坐標(biāo)來表示直線斜率k？
解：設(shè)直線P1 P2傾斜角為 （ 90 ）,過點P1作 軸的平行線，過點P2作 軸的平行線，兩線交于點Q，則點Q為（x2，y1）
�。�1）當(dāng) 為銳角時，
設(shè) x= , y=
=
�。�2）當(dāng) 為鈍角時， （設(shè) = ），
設(shè) x= , y=
即
�。ǹ勺寣W(xué)生分組推導(dǎo)）
綜上，無論 為銳角或鈍角，都有 ，即
思考： 1、當(dāng)直線垂直于x軸或y軸時，上述結(jié)論適用嗎？
2、斜率公式使用時應(yīng)注意什么問題？
新知演練 及時反饋：
例2.求經(jīng)過下列兩點直線的斜率，并判斷傾斜角是銳角還是鈍角。
�。�1）A（3,2）,B（-4,1）
�。�2）A（3,2）,B（4,1）
（3）A（3,2）,B（3,-1）
�。�4）A（3,2）,B（-4,2）
小結(jié)全課，概括升華
1、傾斜角和斜率的概念：
（1）兩者都是刻畫直線傾斜程度的兩個量，一個從形方面，一個從數(shù)方面。
�。�2）傾斜角取值范圍
2．求斜率的方法：k=tanα，
3、數(shù)學(xué)思想方法：分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想。
板書設(shè)計
直線的傾斜角與斜率
1、傾斜角的定義
范圍[0 ，180 ）
2、直線的斜率
�、俣x法
為銳角時： （ ）
為鈍角時：
�、谧鴺�(biāo)法
布置作業(yè)
直線的傾斜角與斜率教案 3
教學(xué)目標(biāo)
（1）了解直線方程的概念。
（2）正確理解直線傾斜角和斜率概念 高二。理解每條直線的傾斜角是唯一的，但不是每條直線都存在斜率。
（3）理解公式的推導(dǎo)過程，掌握過兩點的直線的斜率公式。
（4）通過直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，培養(yǎng)觀察、探索，運用語言表達(dá)，交流與評價。
�。�5）通過斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生樹立辯證統(tǒng)一的觀點，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡的數(shù)學(xué)精神。
教學(xué)建議
1、教材分析
（1）結(jié)構(gòu)
本節(jié)內(nèi)容首先根據(jù)一次函數(shù)與其圖像——直線的關(guān)系導(dǎo)出直線方程的概念；其次為進(jìn)一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進(jìn)而建立直線斜率的概念，從而實現(xiàn)了直線的方向或者說直線的傾斜角這一直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數(shù)屬性的轉(zhuǎn)變；最后推導(dǎo)出經(jīng)過兩點的直線的斜率公式。這些充分體現(xiàn)了解析幾何的思想。
（2）重點、難點分析
�、俦竟�(jié)的重點是斜率的概念和斜率公式。直線的斜率是后繼內(nèi)容展開的主線，無論是建立直線的方程，還是研究兩條直線的位置關(guān)系，以及討論直線與二次曲線的位置關(guān)系，直線的斜率都發(fā)揮著重要作用。因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學(xué)好這一章的關(guān)鍵。
②本節(jié)的難點是對斜率概念的理解。學(xué)生對于用直線的傾斜角來刻畫直線的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個問題卻并不容易接受。
2、教法建議
（1）本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)有三大項：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式。學(xué)生也對應(yīng)三個高潮：傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立。相應(yīng)的教學(xué)過程也有三個階段
①在教學(xué)中首先是創(chuàng)設(shè)問題情境，然后通過討論明確用角來刻畫直線的方向，如何定義這個角呢，學(xué)生在討論中逐漸明確傾斜角的概念。
�、诒竟�(jié)的難點是對斜率概念的理解。學(xué)生認(rèn)為傾斜角就可以刻畫直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣。學(xué)生還會認(rèn)為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數(shù)量化嗎。再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率，而不用正弦、余弦或余切哪？要解決這些問題，就要求幫助學(xué)生認(rèn)識到在直線的方程中體現(xiàn)的不是直線的`傾斜角，而是傾斜角的正切，即直線方程（一次函數(shù) y=kx+b的形式，下同）中x的系數(shù)恰好就是直線傾斜角的正切。為了便于學(xué)生更好的理解直線斜率的概念，可以借助幾何畫板設(shè)計：
�。�1） α變化→直線變化→ y=kx中的 x系數(shù) y變化 （同時注意 tga的變化）。
�。�2） y=kx中的 x系數(shù) y變化→直線變化→α變化 （同時注意 tga的變化）。 運用上述正反兩種變化的動態(tài)演示充分揭示直線方程中 x系數(shù)與傾斜角正切的內(nèi)在關(guān)系，這對幫助學(xué)生理解斜率概念是極有好處的
�、墼谶M(jìn)行過兩點的斜率公式推導(dǎo)的教學(xué)中要注意與前后知識的聯(lián)系，課前要對平面向量，三角函數(shù)等有關(guān)內(nèi)容作一定的準(zhǔn)備。
�、茉谥本�方程的概念時要通過舉例清晰地指出兩個條件，最好能用充要條件敘述直線方程的概念，強(qiáng)化直線與相應(yīng)方程的對應(yīng)關(guān)系。為將來曲線方程做好準(zhǔn)備。
�。�2）本節(jié)內(nèi)容在教學(xué)中宜采用啟發(fā)引導(dǎo)法和討論法，設(shè)計為啟發(fā)、引導(dǎo)、探究、評價的教學(xué)模式。學(xué)生在積極思維的基礎(chǔ)上，進(jìn)行充分的討論、爭辯、交流、和評價。傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立，這三項教學(xué)任務(wù)都是在討論、交流、評價中完成的在此過程生的思維和能力得到充分的發(fā)展。教師的任務(wù)是創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)爭論，組織交流，參與評價。
直線的傾斜角與斜率教案 4
課型：新授課
教學(xué)目標(biāo):
知識與技能
1.正確理解直線的傾斜角和斜率的概念．
2.理解直線的傾斜角的唯一性.
3.理解直線的斜率的存在性.
4.斜率公式的推導(dǎo)過程，掌握過兩點的直線的斜率公式．
情感態(tài)度與價值觀
1.通過直線的傾斜角概念的引入學(xué)習(xí)和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力，運用數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，數(shù)學(xué)交流與評價能力．
2.通過斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生樹立辯證統(tǒng)一的觀點，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡的數(shù)學(xué)精神．
重點與難點:直線的傾斜角、斜率的概念和公式.
教學(xué)方法：啟發(fā)、引導(dǎo)、討論.
教學(xué)過程：
1.直線的傾斜角的概念
我們知道,經(jīng)過兩點有且只有(確定)一條直線.那么,經(jīng)過一點P的直線l的位置能確定嗎?如圖,過一點P可以作無數(shù)多條直線a,b,c, …易見,答案是否定的這些直線有什么聯(lián)系呢?
(1)它們都經(jīng)過點P. (2)它們的‘傾斜程度’不同.怎樣描述這種‘傾斜程度’的不同?
引入直線的傾斜角的概念:
當(dāng)直線l與x軸相交時,取x軸作為基準(zhǔn), x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.特別地,當(dāng)直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定α= 0°.
問:傾斜角α的取值范圍是什么? 0°≤α＜180°.
當(dāng)直線l與x軸垂直時, α= 90°.因為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的每一條直線都有確定的傾斜程度,引入直線的傾斜角之后,我們就可以用傾斜角α來表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的每一條直線的傾斜程度.
直線a∥b∥c,那么它們的傾斜角α相等嗎?答案是肯定的所以一個傾斜角α不能確定一條直線.
確定平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一條直線位置的幾何要素:一個點P和一個傾斜角α.
2.直線的斜率:
一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是
k = tanα
�、女�(dāng)直線l與x軸平行或重合時, α=0°, k = tan0°=0;
�、飘�(dāng)直線l與x軸垂直時, α= 90°, k不存在.
由此可知,一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
例如, α=45°時, k = tan45°= 1;
α=135°時, k = tan135°= tan(180°－45°) = - tan45°= - 1.
學(xué)習(xí)了斜率之后,我們又可以用斜率來表示直線的傾斜程度.
3.直線的斜率公式:
給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用兩點的坐標(biāo)來表示直線P1P2的斜率?
可用計算機(jī)作動畫演示:直線P1P2的四種情況,并引導(dǎo)學(xué)生如何作輔助線,共同完成斜率公式的推導(dǎo).(略)斜率公式：
對于上面的斜率公式要注意下面四點：
(1)當(dāng)x1=x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角α= 90,直線與x軸垂直；
(2)k與P1、P2的順序無關(guān),即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同時交換,但分子與分母不能交換;
(3)斜率k可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標(biāo)求得;
(4)當(dāng)y1=y2時,斜率k = 0,直線的傾斜角α=0°，直線與x軸平行或重合.
(5)求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率而得到．
4．例題:
例1已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1),求直線AB, BC, CA的斜率,并判斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角.
略解:直線AB的斜率k1=1/7>0,所以它的傾斜角α是銳角;
直線BC的斜率k2=-0.5<0,所以它的傾斜角α是鈍角;
直線CA的`斜率k3=1>0,所以它的傾斜角α是銳角.
例2在平面直角坐標(biāo)系中,畫出經(jīng)過原點且斜率分別為1, -1, 2,及-3的直線a, b, c, l.
分析:要畫出經(jīng)過原點的直線a,只要再找出a上的另外一點M.而M的坐標(biāo)可以根據(jù)直線a的斜率確定;或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原點為角的頂點,x軸的正半軸為角的一邊,在x軸的上方作
45°的角,再把所作的這一邊反向延長成直線即可.
略解:設(shè)直線a上的另外一點M的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)斜率公式有
1=(y－0)／(x－0)，所以x = y
可令x = 1,則y = 1,于是點M的坐標(biāo)為(1,1).此時過原點和點M(1,1),可作直線a.同理,可作直線b, c, l.(用計算機(jī)作動畫演示畫直線過程)
5．練習(xí):P86 1. 2. 3. 4.
課堂小結(jié):
(1)直線的傾斜角和斜率的概念．
(2)直線的斜率公式.
課后作業(yè): P89習(xí)題3.1 1. 2. 3.4
課后記:
直線的傾斜角與斜率教案 5
教學(xué)目標(biāo)
〔1〕了解直線方程的概念．
〔2〕正確理解直線傾斜角和斜率概念．理解每條直線的傾斜角是唯—的，但不是每條直線都存在斜率．
〔3〕理解公式的推導(dǎo)過程，掌握過兩點的直線的斜率公式．
〔4〕通過直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探究能力，運用數(shù)學(xué)言語表達(dá)能力，數(shù)學(xué)交流與評價能力．
〔5〕通過斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo)，援助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生樹立辯證統(tǒng)一的觀點，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡的數(shù)學(xué)精神．
教學(xué)建議
1．教材分析
〔1〕知識結(jié)構(gòu)
本節(jié)內(nèi)容首先依據(jù)一次函數(shù)與其圖像——直線的關(guān)系導(dǎo)出直線方程的概念；其次為進(jìn)一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進(jìn)而建立直線斜率的概念，從而完成了直線的方向或者說直線的傾斜角這一直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數(shù)屬性的轉(zhuǎn)變；最后推導(dǎo)出經(jīng)過兩點的直線的斜率公式．這些充分表達(dá)了解析幾何的思想方法．
〔2〕重點、難點分析
①本節(jié)的重點是斜率的概念和斜率公式．直線的斜率是后繼內(nèi)容展開的主線，無論是建立直線的方程，還是研究兩條直線的位置關(guān)系，以及商量直線與二次曲線的位置關(guān)系，直線的斜率都發(fā)揮著重要作用．因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學(xué)好這一章的關(guān)鍵．
②本節(jié)的難點是對斜率概念的理解．學(xué)生對于用直線的傾斜角來刻畫直線的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個問題卻并不簡單接受．
2．教法建議
〔1〕本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)有三大項：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式．學(xué)生思維也對應(yīng)三個高潮：傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立．相應(yīng)的教學(xué)過程也有三個階段
①在教學(xué)中首先是創(chuàng)設(shè)問題情境，然后通過商量明確用角來刻畫直線的方向，如何定義這個角呢，學(xué)生在商量中逐漸明確傾斜角的概念．
�、诒竟�(jié)的難點是對斜率概念的理解．學(xué)生認(rèn)為傾斜角就可以刻畫直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯—確定的，而斜率卻不這樣．學(xué)生還會認(rèn)為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數(shù)量化嗎．再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率，而不用正弦、余弦或余切哪要解決這些問題，就要求教師援助學(xué)生認(rèn)識到在直線的方程中表達(dá)的不是直線的傾斜角，而是傾斜角的正切，即直線方程〔一次函數(shù)的形式，下同〕中x的系數(shù)恰好就是直線傾斜角的正切．為了便于學(xué)生更好的理解直線斜率的概念，可以借助幾何畫板設(shè)計：
(1)α變化→直線變化→中的系數(shù)變化〔同時注意的變化〕．
(2) 中的系數(shù)變化→直線變化→α變化〔同時注意的變化〕．
運用上述正反兩種變化的動態(tài)演示充分揭示直線方程中系數(shù)與傾斜角正切的內(nèi)在關(guān)系，這對援助學(xué)生理解斜率概念是極有好處的．
�、墼谶M(jìn)行過兩點的斜率公式推導(dǎo)的教學(xué)中要注意與前后知識的聯(lián)系，課前要對平面向量，三角函數(shù)等有關(guān)內(nèi)容作肯定的復(fù)習(xí)打算．
�、茉趯W(xué)習(xí)直線方程的概念時要通過舉例清楚地指出兩個條件，最好能用充要條件表達(dá)直線方程的概念，強(qiáng)化直線與相應(yīng)方程的對應(yīng)關(guān)系．為將來學(xué)習(xí)曲線方程做好打算．
〔2〕本節(jié)內(nèi)容在教學(xué)中宜采納啟發(fā)引導(dǎo)法和商量法，設(shè)計為啟發(fā)、引導(dǎo)、探究、評價的教學(xué)模式．學(xué)生在積極思維的根底上，進(jìn)行充分的商量、爭辯、交流、和評價．傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立，這三項教學(xué)任務(wù)都是在商量、交流、評價中完成的．在此過程中學(xué)生的思維和能力得到充分的開展．教師的任務(wù)是創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)爭論，組織交流，參與評價．
教學(xué)設(shè)計例如
直線的傾斜角和斜率
教學(xué)目標(biāo)：
〔1〕了解直線方程的概念，正確理解直線傾斜角和斜率概念，〔2〕理解公式的推導(dǎo)過程，掌握過兩點的直線的斜率公式．
〔3〕培養(yǎng)學(xué)生觀察、探究能力，運用數(shù)學(xué)言語表達(dá)能力，數(shù)學(xué)交流與評價能力．
〔4〕援助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生樹立辯證統(tǒng)一的觀點，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡的數(shù)學(xué)精神．
教學(xué)重點、難點：直線斜率的概念和公式
教學(xué)用具：計算機(jī)
教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)法，商量法
教學(xué)過程：
〔一〕直線方程的概念
如圖1，對于一次函數(shù)，和它的圖像——直線有下面關(guān)系：
〔1〕有序數(shù)對〔0，1〕滿足函數(shù)，則直線上就有一點A，它的坐標(biāo)是〔0，1〕．
〔2〕反過來，直線上點B〔1，3〕，則有序?qū)崝?shù)對〔1，3〕就滿足．
一般地，滿足函數(shù)式的每一對，的值，都是直線上的.點的坐標(biāo)〔，〕；
反之，直線上每一點的坐標(biāo)〔，〕都滿足函數(shù)式，因此，一次函數(shù)的圖象是一條直線，它是以滿足的每一對x，y的值為坐標(biāo)的點構(gòu)成的．
從方程的角度看，函數(shù)也可以看作是二元一次方程，這樣滿足一次函數(shù)的每一對， 的值“變成了〞二元一次方程的解，使方程和直線建立了聯(lián)系．
定義：以一個方程的解為坐標(biāo)的點都是某條直線上的點，反過來，這條直線上的全部點坐標(biāo)都是這個方程的解，這時，這個方程就叫做這條直線的方程，這條直線就叫做這個方程的直線．
以上定義改用集合表述：，的二元一次方程的解為坐標(biāo)的集合，記作．假設(shè)〔1〕〔2〕，則．
問：你能用充要條件表達(dá)嗎？
答：一條直線是一個方程的直線，或者說這個方程是這條直線的方程的充要條件是……．
〔二〕直線的傾斜角
〔問題1〕
請畫出以下三個方程所表示的直線，并觀察它們的異同．
過定點，方向不同．
如何確定一條直線？
兩點確定一條直線．
還有其他方法嗎？或者說如果只給出一點，要確定這條直線還應(yīng)增加什么條件？
學(xué)生：思考、回憶、答復(fù)：這條直線的方向，或者說傾斜程度．
〔導(dǎo)入〕
今天我們就共同來研究如何刻畫直線的方向．
〔問題2〕
在坐標(biāo)系中的一條直線，我們用怎樣的角來刻畫直線的方向呢？商量之前我們可以設(shè)想這個角應(yīng)該是怎樣的呢？它不僅能解決我們的問題，同時還應(yīng)該是簡單的、自然的．
學(xué)生：展開商量．
學(xué)生商量過程中會有錯誤和不嚴(yán)謹(jǐn)之處，教師注意引導(dǎo)．
通過商量認(rèn)為：應(yīng)選擇α角來刻畫直線的方向．依據(jù)三角函數(shù)的知識，說明一個方向可以有無窮多個角，這里只需一個角即可〔開始時可能有學(xué)生認(rèn)為有四個角或兩個角〕，當(dāng)然用最小的正角．從而得到直線傾斜角的概念．
〔板書〕
定義：一條直線l向上的方向與軸的正方向所成的最小正角叫做直線的傾斜角．
〔教師強(qiáng)調(diào)三點：〔1〕直線向上的方向，〔2〕軸的正方向，〔3〕最小正角．〕
特別地，當(dāng)與軸平行或重合時，規(guī)定傾斜角為0°．
由此定義，角的范圍如何？
0°≤α＜180°或0≤α＜π 如圖3
至此問題2已經(jīng)解決了，回憶一下是怎么解決的．
〔三〕直線的斜率
〔問題3〕
下面我們在同一坐標(biāo)系中畫出過原點傾斜角分別是30°、45°、135°的直線，并試著寫出它們的直線方程．然后觀察思考：
直線的傾斜角在直線方程中是如何表達(dá)的？
學(xué)生：在練習(xí)本上畫出直線，寫出方程．
30° --à＝
45° --à ＝
135°--à＝
〔注：學(xué)生對于寫出傾斜角是45°、135°的直線方程不會困難，但對于傾斜角是30°可能有困難，此時可啟發(fā)學(xué)生借用三角函數(shù)中的30°角終邊與單位圓的交點坐標(biāo)來解決．〕
〔演示動畫〕
觀察直線變化，傾斜角變化，直線方程中系數(shù)變化的關(guān)系
(1)直線變化→α變化→中的系數(shù)變化〔同時注意α的變化〕．
(2)中的x系數(shù)k變化→直線變化→α變化〔同時注意α的變化〕．
教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，歸納，猜想出
直線的傾斜角與斜率教案 6
教學(xué)目標(biāo)
(1)了解直線方程的概念.
(2)正確理解直線傾斜角和斜率概念 高二.理解每條直線的傾斜角是唯一的，但不是每條直線都存在斜率.
(3)理解公式的推導(dǎo)過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.
(4)通過直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，培養(yǎng)觀察、探索，運用語言表達(dá)，交流與評價.
(5)通過斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生樹立辯證統(tǒng)一的觀點，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡的數(shù)學(xué)精神.
教學(xué)建議
1.教材分析
(1)結(jié)構(gòu)
本節(jié)內(nèi)容首先根據(jù)一次函數(shù)與其圖像——直線的關(guān)系導(dǎo)出直線方程的概念;其次為進(jìn)一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進(jìn)而建立直線斜率的概念，從而實現(xiàn)了直線的方向或者說直線的傾斜角這一直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數(shù)屬性的轉(zhuǎn)變;最后推導(dǎo)出經(jīng)過兩點的直線的斜率公式.這些充分體現(xiàn)了解析幾何的思想.
(2)重點、難點分析
�、俦竟�(jié)的重點是斜率的概念和斜率公式.直線的斜率是后繼內(nèi)容展開的主線，無論是建立直線的方程，還是研究兩條直線的位置關(guān)系，以及討論直線與二次曲線的位置關(guān)系，直線的斜率都發(fā)揮著重要作用.因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學(xué)好這一章的關(guān)鍵.
�、诒竟�(jié)的.難點是對斜率概念的理解.學(xué)生對于用直線的傾斜角來刻畫直線的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個問題卻并不容易接受.
2.教法建議
(1)本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)有三大項：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.學(xué)生也對應(yīng)三個高潮：傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立.相應(yīng)的教學(xué)過程也有三個階段
�、僭诮虒W(xué)中首先是創(chuàng)設(shè)問題情境，然后通過討論明確用角來刻畫直線的方向，如何定義這個角呢，學(xué)生在討論中逐漸明確傾斜角的概念.
�、诒竟�(jié)的難點是對斜率概念的理解.學(xué)生認(rèn)為傾斜角就可以刻畫直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣.學(xué)生還會認(rèn)為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數(shù)量化嗎.再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解決這些問題，就要求幫助學(xué)生認(rèn)識到在直線的方程中體現(xiàn)的不是直線的傾斜角，而是傾斜角的正切，即直線方程(一次函數(shù) y=kx+b的形式，下同)中x的系數(shù)恰好就是直線傾斜角的正切.為了便于學(xué)生更好的理解直線斜率的概念，可以借助幾何畫板設(shè)計： (1) α變化→直線變化→ y=kx中的 x系數(shù) y變化 (同時注意 tga的變化). (2) y=kx中的 x系數(shù) y變化→直線變化→α變化 (同時注意 tga的變化). 運用上述正反兩種變化的動態(tài)演示充分揭示直線方程中 x系數(shù)與傾斜角正切的內(nèi)在關(guān)系，這對幫助學(xué)生理解斜率概念是極有好處的
③在進(jìn)行過兩點的斜率公式推導(dǎo)的教學(xué)中要注意與前后知識的聯(lián)系，課前要對平面向量，三角函數(shù)等有關(guān)內(nèi)容作一定的準(zhǔn)備.
�、茉谥本�方程的概念時要通過舉例清晰地指出兩個條件，最好能用充要條件敘述直線方程的概念，強(qiáng)化直線與相應(yīng)方程的對應(yīng)關(guān)系.為將來曲線方程做好準(zhǔn)備.
(2)本節(jié)內(nèi)容在教學(xué)中宜采用啟發(fā)引導(dǎo)法和討論法，設(shè)計為啟發(fā)、引導(dǎo)、探究、評價的教學(xué)模式.學(xué)生在積極思維的基礎(chǔ)上，進(jìn)行充分的討論、爭辯、交流、和評價.傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立，這三項教學(xué)任務(wù)都是在討論、交流、評價中完成的在此過程生的思維和能力得到充分的發(fā)展.教師的任務(wù)是創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)爭論，組織交流，參與評價.
直線的傾斜角與斜率教案 7
一、教學(xué)內(nèi)容分析
直線傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數(shù)表示，是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)以坐標(biāo)法（解析法）的方式來研究直線及其幾何性質(zhì)（如直線位置關(guān)系、交點坐標(biāo)、點到直線距離等）的基礎(chǔ)。通過該內(nèi)容的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生初步了解直角坐標(biāo)平面內(nèi)幾何要素代數(shù)化的過程，初步滲透解析幾何的基本思想和基本研究方法。直線的斜率是后繼內(nèi)容展開的主線，無論是建立直線的方程，還是研究兩條直線的位置關(guān)系，以及討論直線與二次曲線的位置關(guān)系，直線的斜率都發(fā)揮著重要作用
二、教學(xué)目標(biāo)
�。ㄒ唬┲R目標(biāo)
1、理解傾斜角和斜率的概念；
2、掌握過兩點的直線斜率公式及應(yīng)用．
（二）能力目標(biāo)
1、通過坐標(biāo)法的引入，培養(yǎng)學(xué)生觀察歸納、對比、轉(zhuǎn)化等辯證思維；
2、初步感悟用代數(shù)方法解決幾何問題的思想方法，提高抽象概括能力．
�。ㄈ┣楦心繕�(biāo)
1、通過主動探索合作交流來感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣.
2、鼓勵學(xué)生積極主動的參與教學(xué)過程，激發(fā)求知的欲望．
三、教學(xué)重點及難點
重點：
1、 感悟并形成傾斜角與斜率兩個概念；
2、 推導(dǎo)并掌握過兩點的直線斜率公式；
3、 體會數(shù)形結(jié)合及分類討論思想在概念形成及公式推導(dǎo)中的作用。
難點：用代數(shù)方法推導(dǎo)斜率公式的過程
四、教學(xué)過程
過程
學(xué)生活動
設(shè)計意圖
（一）、復(fù)習(xí)引入，點擊課題
探究：一條直線位置由哪些條件確定呢？問題1、一點能不能確定一條直線（不能），過定點的直線束有什么區(qū)別？
自然合理地提出問題，從最簡單問題著手，創(chuàng)造輕松的氛圍。從而引出本節(jié)課的.題目。
（二）、實例探究、歸納共性
觀察直線束并發(fā)現(xiàn)傾斜程度不同
引出傾斜角的概念
�。ㄈ⒔⒛Ｐ�，形成概念
1、直線的傾斜角的定義
2、直線斜率的概念
3、推導(dǎo)斜率公式
對傾斜角、斜率概念的理解，讓學(xué)生知道如何確定直線位置確定直線位置幾何要素轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題
（四）、例題教學(xué)，鞏固概念
例1、練習(xí)傾斜角和斜率的關(guān)系,并判斷直線的傾斜角是銳角還是鈍角.
例2、掌握過兩點直線的斜率公式
練習(xí)鞏固：課本86頁
由學(xué)生完成，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力和獨立解決新問題的能力
（五）、課堂小結(jié)
1、傾斜角
2、斜率
3、斜率公式
�。�、布置作業(yè)：
五、板書設(shè)計
1、傾斜角 過兩點的直線斜率公式
2、斜率
六．教學(xué)反思
注：教學(xué)過程的序列可根據(jù)集體備課的要求自行調(diào)整。
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